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Énigme de la semaine 10

par MOTTIER Pierre

mardi nov. 2013 26

Ça balance !

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Voici trois dessins de Paul, Jean, Igor et Franck sur une balançoire.

Qui est le plus lourd ? Qui est le plus léger ?
Est-il possible de ranger les quatre frères par ordre de poids ?

Solution.

On note P, J, I et F les masses respectives de Paul, Jean, Igor et Franck.
$\left\{\begin{array}{rcl} P+F&=&I+J\\P+J&>&F+I\\\end{array}\right$
Par addition membre à membre, il vient : , donc .
De même, $\left\{\begin{array}{rcl} I+J&=&P+F\\P+J&>&F+I\\\end{array}\right$ donne .
$\left\{\begin{array}{rcl} I+J&=&P+F\\J+F&>&P+I\\\end{array}\right$ donne .
$\left\{\begin{array}{rcl} P+F&=&P+FI+J\\J+F&>&P+I\\\end{array}\right$ donne .
Enfin, $\left\{\begin{array}{rcl} J+F&>&I+P\\P+J&>&F+I\\\end{array}\right$ donne .
Donc, Jean est le plus lourd et Igor le plus léger.
Mais il n’est pas possible de comparer les masses de Franck et Paul.
Pour le montrer, on peut présenter deux exemples contradictoires :
Si , , et , l’égalité et les inégalités de l’énoncé sont vérifiées, mais elles le sont aussi si , , et .