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Énigme de la semaine 10

par MOTTIER Pierre

Liberté conditionnelle.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

 
 
Un prisonnier demande grâce.
Son geôlier lui donne un espoir de liberté : il lui apporte deux urnes, 12 billes blanches et 12 billes noires.
Le prisonnier doit répartir ces 24 billes dans les deux urnes.
Le geôlier choisira une urne au hasard puis une bille au hasard dans cette urne.
Si la bille est blanche, le prisonnier sera libéré.

Comment le prisonnier doit-il répartir les billes dans les urnes pour avoir le plus de chances possible d’être libéré ?
Calculer la probabilité de sa libération avec cette répartition.

Messages

  • Bonjour,

    On obtient donc une probalibité de libération max de 0,739 si on met 1 boule blanche dans l’urne 1, et toutes les autres boules dans la 2e urne

    Ci-après les détails.

    Notation :
    N1= nombre de boules noires dans l’urne 1
    B1= nombre de boules blanches dans l’urne 1
    N2= nombre de boules noires dans l’urne 2
    B2= nombre de boules blanches dans l’urne 2

    Le nombre total de boules d’une même couleur est de 12 :
    N1+N2=12
    B1+B2=12

    Pb1= probabilité d’avoir une boule blanche dans l’urne1
    = N1/(N1+B1)
    Pb2= probabilité d’avoir une boule blanche dans l’urne2 = N2/(N2+B2)
    = (12-N1)/((12-N1)+(12-B1)) = (12-B1)/(24 -(N1+B1))

    Comme il y a 2 urnes :
    Probabilité de libération= Pb1/2 + Pb2/2

    Pour obtenir la probabilité max on calcule la probabilité en faisant varier le nombre de boules blanches et de boules noires de 0 à 12 dans l’urne 1 (donc le complément à 12 dans l’urne 2)
    Pour chaque occurrence de P>Pmax, on conserve P , N1, B1
    Les cas N1+B1=0 et N1+B1=12 sont exclus (car P <= 0,5 qui est obtenu si on répartit également les boules noires et blanches das les 2 urnes)

    Résultat du programme algobox :

    ***Algorithme lancé***
    Probabilite liberation=0.73913043
    Nombre de boules blanches (Urne 1)=1, Nombre de boules noires (Urne 1)= 0
    Nombre de boules blanches (Urne 2)=11, Nombre de boules noires (Urne 2)=12
    ***Algorithme terminé***

    Conclusion :
    On obtient donc une probabilité de libération max de 0,739 si on met 1 boule blanche dans l’urne 1, et toutes les autres boules dans la 2e urne

  • Méthode choisie : résolution graphique avec Geogebra.
    J’exprime la probabilité de tirer une bille blanche en fonction de la répartition des billes blanches et noires dans les deux urnes.

    • x : nombre de billes blanches dans l’urne 1
    • y : nombre de billes noires dans l’urne 1

    f(x,y)=\frac{1}{2} \left( \frac{x}{x+y} + \frac{12-x}{24-x-y} \right)

    Pour le reste, il faut jouer avec les curseurs qui font varier x et y.
    On s’aperçoit qu’une seule bille blanche dans l’urne 1 et les 23 autres billes dans l’urne 2 optimise la solution. La probabilité se rapproche de 0.75 = 0.5(1+0.5) : P(bille blanche) = \frac{17}{23}

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