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Énigme de la semaine 11

par MOTTIER Pierre

mardi nov. 2015 17

Fête des enseignants !

À l’occasion de la fête des enseignants, des élèves ont décidé de faire, pour leur professeur de mathématiques, un gigantesque gâteau de forme parallélépipédique, composé de huit morceaux savamment imbriqués, comme indiqué sur le dessin ci-contre.
Le gâteau est posé sur le bureau et sur le tableau est écrit le texte suivant :
« Un parallélépipède est coupé en huit morceaux par des plans parallèles aux faces.
Le volume du morceau de sommet A est 9, le volume du morceau de sommet C est 12, le volume du morceau de sommet E est 8 et le volume du morceau de sommet G est 24.
Quel est le volume du parallélépipède ? »

Évidemment, il faut résoudre le problème avant de commencer à manger cet appétissant dessert...

Messages

1. Énigme de la semaine 11, 24 novembre 2015, 09:23, par NDW

Bonjour Sherlock,

Ce n’est pas du gâteau cette énigme !

Le volume du gâteau est de 105.

Calcul du volume :

$V= a y b + z y x + a c x + z c b +a y x + z y b + a c b + z c x$

Les volumes connus :

$V_1 = a y b = 9$ (1) (sommet A)
$V_2 = z y x = 8$ (2) (sommet E)
$V_3 = a c x = 24$ (3) (sommet G)
$V_4 = z c b = 12$ (4) (sommet C)

$V_1+V_2+V_3+V_4=53$
$V= 53 + a y x + z y b + a c b + z c x$

Calcul des dimensions :
$V_1 = 9$
On suppose que les dimensions sont entières. Il n’y a qu’un triplet possible pour les dimensions : 1,3,3
(1) $a=1\qquad y=3\qquad b=3$

(2) $3zx=8$
(3) $cx=24$
(4) $3zc=12$

(4)/(3) : $c=\frac{3}{2} x$
(3) : $\frac{3}{2} x^2 = 16$
$\qquad x=4$
(3) : $cx=24$
$\qquad c=6$
(4) : $18 z=12$
$\qquad z=\frac{2}{3}$

Volume du gâteau :
$V= 53 +12+6+18+16$
$V=105$