Énigme de la semaine 11

C’est du billard !

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Le billard américain est un jeu comportant 15 boules numérotées de 1 à 15 et une boule blanche. La partie est terminée lorsqu’il ne reste que la boule blanche sur le tapis.

À la fin de leur partie, Bonnie et Clyde comptent leurs points.
Toutes les boules ont été gagnées par l’un ou l’autre.
Bonnie obtient exactement deux fois plus de points que Clyde alors qu’elle a gagné moins de boules que Clyde.
Donner les répartitions possibles des points gagnés par Bonnie.

Solution

Le total des points des 15 boules est 120. Le tiers de 120 est 40 : Clyde a obtenu 40 alors que Bonnie en a obtenu 80.
Le total des 6 boules valant le plus de points est 75. Il faut donc que Bonnie ait gagné au moins 7 boules. Or, la moitié de 15 étant 7,5, pour que Bonnie ait remporté la partie avec moins de boules que Clyde, elle en a gagné au plus 7.
Elle a donc gagné exactement 7 boules.
En partant avec les boules marquées des nombres les plus élevés, et en ajustant, on trouve les 5 répartitions possibles :