Accueil > Vie Scolaire > Autres rubriques > Jeux mathématiques et logiques > Une énigme par semaine > Catégorie Lycée / Grand Public > Énigme de la semaine 11

Énigme de la semaine 11

par MOTTIER Pierre

mardi déc. 2013 3

Schmutzele.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Dix amis venant de trois régions se retrouvent à Strasbourg. La première voiture vient d’Auvergne, la seconde de Bretagne et la dernière de Catalogne.
Pour se dire bonjour, on se fait la bise.
En Bretagne on se fait 4 bises, en Auvergne 2 bises, et en Catalogne 3 bises.
C’est toujours le nombre de bises de celui qui en fait le moins qui est échangé.
Chacune des trois voitures a au maximum 5 places.
Les occupants d’une même voiture ne se font pas la bise.

Lorsque les dix amis se sont retrouvés, il y a eu 75 bises échangées.
Déterminer le nombre d’Auvergnats, de Bretons et de Catalans.

Messages

1. Énigme de la semaine 11, 3 décembre 2013, 16:17, par Philippe Le Badezet

Bonjour Sherlock Tux,
J’adore les histoires de bisous.
J’imagine bien cinq occupants dans la voiture auvergnate, tout émoustillés à l’idée de claquer deux bises à leurs cinq amis bretonnants, ce qui nous laisserait un solitaire catalan, ce qui ne parait pas très juste puisque c’est lui qui réalise le trajet le plus long, mais avec une bonne radio, ça peut être fait dans la journée, à condition que ce ne soit pas l’hiver, auquel cas les routes alsaciennes deviendraient périlleuses de nuit. Bref je suppose que les concepteurs de ces énigmes savent ce qu’ils font.
Dis à Pierre que la prochaine séance du Ciné club n’aura lieu qu’en janvier.
Bien à toi.
- 1. Énigme de la semaine 11, 3 décembre 2013, 18:55, par Mottier Pierre
  
  Bonjour Philippe !
  
  Il y a un intrus qui s’est glissé dans le groupe d’amis puisqu’ils n’étaient censés être que 10 en tout (c’est peut-être le numéro de la semaine qui a créé quelques interférences avec le sujet de l’énigme !)...
  Par contre, ils ont bien échangé 75 bises et certainement la piste suivie était la bonne.
  Si tu veux, tu me renvoies un petit rectificatif ?
  Je transmets le message à Pierre.
  Bises !
  
  Signé : Sherlock Tux
- 2. Énigme de la semaine 11, 3 décembre 2013, 20:36, par Philippe Le Badezet
  
  Damned. L’erreur bête. Manque de rigueur dans le raisonnement scientifique. En même temps, un seul Catalan tout seul dans sa voiture, ce n’était pas très convivial, ni très écologique, ce qui en ces temps de développementdurabléite aigu paraissait assez étrange. A trois, ils pourront taper la discute ; peut-être même pourront-ils, s’ils roulent assez vite, dépasser les quatre Auvergnats et arriver à temps pour l’heure du Gewurz. Sauf si les trois Bretons ont déjà fini la bouteille.
  Je vous laisse monsieur Tux, cela m’a donné soif.
  Mathématiquement,
2. Énigme de la semaine 11, 5 décembre 2013, 20:09, par NDW

Bonjour,

Il y a :
4 Auvergnats
3 Bretons
3 Catalans

Notation :
A= nombre d’Auvergnats
B= nombre de Bretons
C= nombre de Catalans

Ei= nombre de bises échangées pour un type d’échange i

Le nombre de bises totales échangées :
Les échanges de bises se font entre voitures (et pas au sein d’une même voiture).
Les échanges de bises se font avec les possibilités suivantes :
E1 : A,B -> 2 bises par échange (c’est le nombre de bises des Auvergnats qui est pris en compte)
$E1=2\times{A}\times{B}$ bises
E2 : A,C -> 2 bises par échange (c’est le nombre de bises des Auvergnats qui est pris en compte)
$E2=2\times{A}\times{C}$ bises
E3 : B,C -> 3 bises par échange (c’est le nombre de bises des Bretons qui est pris en compte)
$E3=3\times{B}\times{C}$ bises

Au total :
$E=E1+E2+E3$
$75=2\times{A}\times{B}+2\times{A}\times{C}+3\times{B}\times{C}$ (1)

D’autre part il y a 10 personnes au total :
$10=A+B+C$
$A=10-(B+C)$

De plus, chacune des voitures contient 1 (=au moins le conducteur) à 5 occupants (3)
$1\le{A}\le5$
$1\le{B}\le5$
$1\le{A}\le5$

Pour connaître les valeurs de A, B, C , on relève le nombre total de bises pour les différentes combinaisons possibles des valeurs de A, B, C
respectant les conditions (3) et (2)
Le tableau excel indique qu’il y a eu 75 bises échangées (respect de la condition (1)) pour les valeurs $A=4$ , $B=3$ et $C=3$ .
3. Énigme de la semaine 11, 8 décembre 2013, 15:42, par Claudel Gilles

Soit a le nombre d’auvergnats, b le nombre de bretons et c le nombre de catalans. Ces trois nombres sont strictement positifs et inférieurs ou égaux à 5.

Le nombre n de bises échangées s’exprime ainsi :

$2ab+3bc+2ac=75$
$2a(b+c)+3bc=75$

On en déduit que b et c sont impairs. De plus, $b+c \ge 5$ puisque $a+b+c=10$ et $a \le 5$

On présente les résultats sous forme de tableau :

a b c n

4 3 3 75

2 3 5 77

2 5 3 77

Donc 4 auvergnats, 3 bretons et 3 catalans font l’affaire !

$2 \times 2 \times (3 + 3)+3 \times 3 \times 3 = 75$