Énigme de la semaine 12

Pour une brique de plus.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Sur un sol horizontal, Thierry empile et colle des briques parallélépipédiques toutes identiques de longueur 22 cm avec un décalage constant de 3 cm dans le sens de la longueur.
Cet empilement ne tombe pas tant que le centre de symétrie G de la figure obtenue se projette orthogonalement sur le sol en un point situé entre A et B.
Quel est le nombre maximum de briques que Thierry peut ainsi empiler ? Justifier la réponse.

Solution

À chaque ajout d’une brique sur la pile, le centre de gravité de celle-ci est déplacée d’une moitié d’épaisseur de brique vers le haut et de 1,5 cm vers la droite.

Appelons n le nombre de briques empilées.

Lorsqu’il n’y a qu’une brique, le centre de gravité est au centre de la brique.
Avec deux briques, le centre de gravité de l’empilement est décalé de 1,5 cm vers la droite.
Avec trois briques, le centre de gravité de l’empilement est à nouveau décalé de 1,5 cm vers la droite et est donc 3 cm plus à droite qu’au départ.
Avec n briques, le centre de gravité de l’empilement est 1,5(n+1) cm plus à droite qu’au départ.

Dès que 1,5(n+1) > 11 , l’équilibre est perdu et la pile tombe...

Finalement, l’empilement tombe quand Thierry pose la septième brique...