Énigme de la semaine 13

La coupe est pleine.

(Extrait de Mathématiques sans Frontières)

Voici le schéma d’une fontaine. Chaque vasque peut contenir 1 litre d’eau, avant de déborder équitablement vers les deux vasques se trouvant en dessous d’elle. Au début, toutes les vasques sont vides.
Combien de litres d’eau au minimum faut-il verser dans la vasque n°1 pour remplir complètement la vasque n°8 ?

Solution

Il faut 1 L pour remplir la vasque 1. Ensuite elle déborde équitablement dans les vasques 2 et 3 qui sont pleines quand 3 L d’eau ont coulé dans 1.
La vasque 5 est alimentée par 2 et 3 : elle reçoit la moitié de la quantité d’eau qui suit, tandis que 4 et 6 n’en reçoivent que le quart.
Il faut donc 2 L supplémentaires (soit 5 L en tout) pour remplir la vasque 5, tandis que la vasque 4 ne sera pleine qu’après que 7 L auront été versés dans 1.
La vasque 8 est alimentée d’abord par 5 seule, puis par 5 et 4 à partir du moment où 4 est pleine et commence à déborder.
Elle reçoit un quart des 6^ème et 7^ème litres, et contient donc un demi litre lorsque le 7^ème a fini de couler dans 1.
Par la suite, la vasque 8 reçoit un quart de la quantité d’eau débordant la vasque 5 et un huitième de la quantité d’eau débordant de la vasque 4, soit trois huitièmes de la quantité d’eau versée dans 1 après la 7^ème litre.
On a :
D’où,
Il faut donc, pour remplir la vasque 8, verser L, soit L, dans la vasque 1.