Énigme de la semaine 13

La couleur des nombres.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

On décide d’attribuer une couleur (rouge ou bleu) aux nombres entiers naturels en respectant les règles suivantes :

• Le nombre 0 est bleu.
• Si un nombre entier peut s’écrire comme la somme d’au moins deux entiers rouges distincts, alors il est bleu. Dans le cas contraire, il est rouge.

Donner la liste des entiers rouges inférieurs à 50.

Solution

donc 2 est rouge.
donc 3 est bleu.
 : la somme de tous les rouges inférieurs à 4 est inférieure à 4 donc 4 est rouge.
donc 5 est bleu.
donc 6 est bleu.
donc 7 est bleu.
 : la somme de tous les rouges inférieurs à 8 est inférieure à 8 donc 8 est rouge.
Ainsi seront rouges toutes les puissances entières de 2 et bleus les autres entiers.
Les rouges inférieurs à 50 sont : 1, 2, 4, 8, 16 et 32.