Énigme de la semaine 16

Aleabus.

(Extrait de Mathématiques sans Frontières)

Ce matin-là, Émilie arrive à l’arrêt de bus sans savoir l’heure qu’il est.
Deux lignes A et B lui permettent de parvenir à sa destination.

• Sur la ligne A, un bus passe toutes les 12 minutes.
• Sur la ligne B, un bus passe toutes les 20 minutes.

Les horaires d’arrivée des bus, valables pour toutes les heures de la journée, figurent sur le tableau ci-contre.
Tous les bus marquent un temps d’arrêt d’une minute.
Émilie attend le bus et se pose des questions :
« Quelle est la durée d’attente maximale possible ?
Quelle est la probabilité que la durée d’attente soit supérieure à 5 minutes ? »
Répondre à ces questions. Justifier.

Solution

Pour schématiser la situation, découpons une heure en minutes (chaque bus marquant un temps d’arrêt d’une minute, celle-ci peut nous servir d’unité de temps).
Sur l’échelle ainsi construite, on a représenté en bleu les instants où un bus est à l’arrêt, et en jaune l’ensemble des instants pour lesquels la durée d’attente sera supérieure à 5 minutes.

La durée d’attente est de 11 min si Émilie se présente à la station à :13 ou à :49, quand le bus A vient de partir. C’est la valeur maximale.

La probabilité pour qu’Émilie attende plus de 5 min est :