Énigme de la semaine 16

Couper-coller.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Camille confectionne un ruban en papier de 4 m de longueur et de 1 cm de largeur.
Elle utilise une feuille rectangulaire dont les dimensions sont des nombres entiers de centimètres. Elle la découpe en bandes parallèles de 1 cm de large et de longueurs égales à l’une des dimensions de cette feuille.
Elle assemble ensuite ces bandes en les superposant sur 1 cm aux raccords pour les coller.
On voudrait connaître les dimensions de la feuille rectangulaire que Camille a découpée.
Donner toutes les solutions, sachant que cette feuille est plus petite qu’une feuille de format A4 (21 cm x 29,7 cm).

Solution

Soient n et x les dimensions du rectangle initial, en centimètres.
Il y a n bandes de x cm et n - 1 raccords de 1 cm pour 400 cm de longueur totale.
On a :
D’où :
Les diviseurs de 399 sont : 1, 3, 7, 19, 21, 57, 133 et 399.
Le tableau suivant donne les couples d’entiers (n,x) solutions de l’équation :

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La limitation à une feuille A4 restreint le nombre de solutions à deux : Camille a découpé une feuille de dimensions 19 cm et 22 cm, ou de dimensions 20 cm et 21 cm.