Énigme de la semaine 18

Rosace à quatre feuilles.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

La rosace grise est obtenue à partir de quatre demi-cercles admettant les côtés du carré pour diamètres.
Comment doit-on choisir le côté du carré pour que l’aire de la rosace soit 1 dm² ?

Solution

La figure est symétrique autour des médiatrices des côtés du carré, autour des diagonales du carré et autour de son centre.
En fait, à partir d’un huitième de la figure, on peut, par l’utilisation de différentes symétries, retrouver la figure complète.
Il suffit de trouver pour quel côté c du petit carré ci-dessus, le domaine grisé a une aire de dm².
Le côté du grand carré sera alors 2c dm et l’aire de la rosace sera bien 1 dm².
Le domaine grisé est un quart de disque de rayon c auquel on a enlevé un triangle rectangle isocèle de côté c.
Son aire est donc .

L’aire de la rosace est égale à . Elle vaut 1 lorsque .
Le côté du grand carré doit donc être dm.