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Énigme de la semaine 18

par MOTTIER Pierre

mardi janv. 2016 19

Paul Cézanne (1839-1906), Bords de Marne à Saint-Maur-des-Fossés

L’île fleurie.

(Extrait du Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques)

L’île fleurie est ainsi nommée car, à la belle saison, ses nombreux arbres fruitiers sont en fleurs, et que cela est joli à voir. Ces arbres sont disposés de telle sorte qu’il y ait en moyenne un arbre pour 18 m² de terrain. L’île a la forme d’un rectangle deux fois plus long que large et, lorsqu’on en fait le tour en bateau en restant toujours soigneusement à 700 m du rivage pour mieux la contempler, on parcourt 6 398 m (le capitaine nous avait donné la distance en nœuds marins, mais nous avons converti !).
Au fait, pouvez-vous nous dire combien il y a d’arbres fruitiers sur cette île ? On prendra $\frac{22}{7}$ pour π.

Paul Cézanne (1839-1906), Bords de Marne à Saint-Maur-des-Fossés

Messages

1. Énigme de la semaine 18, 23 janvier 2016, 16:43, par NDW

Bonjour Sherlock,

Il y a environ 12321 arbres sur l’île.

PS :
L’interpréteur de syntaxe latex fonctionne de nouveau

Notations :

S : surface de l’île
a : largeur de l’île
2a : longueur de l’île
N : nombre d’arbres sur l’île

Calcul de la surface :

$S = a (2a)$
$S = 2 a^{2}$

Calcul de la largeur de l’île :
Le bateau se situe toujours à 700 m du rivage de l’île, il parcourt 6398m (le périmètre de l’île auquel on ajoute un cercle de rayon 700m) :

$L = 2(2a) + 2a + 2 \pi 700 = 6398$
$a = \frac {6398 - 2 \pi 700} {6}$
$a \approx 333$

Calcul du nombre d’arbres :

$N = \frac {S} {18}$
$N = \frac {2 a^{2}} {18}$
$N \approx 12321$
2. Énigme de la semaine 18, 23 janvier 2016, 17:44, par NDW

Pour l’énigme 17, je suis bien en retard !
Mais aujourd’hui il fait vraiment un temps à rester au chaud à déchiffrer des énigmes... (-16°C avec vent du Nord )

L’année faste correspond à 1352

Traduction de l’énigme :
L’année s’écrit : abcd
a=1 ou 2 (car c’est une année historique <2016)
c>=1
a, b, c,d entiers

« Le double produit de ces deux nombres à deux chiffres est égal au millésime lui-même », se traduit par l’égalité (1) :
2 (10a+b) (10c+d) = 1000a + 100b + 10c +d

Hypothèse 1 : a=1, b=0
(1) :
$20 (10c+d) = 1000 + (10c+d)$
$10c+d = \frac 1000 19$
Impossible : 1000 non divisible par 19 (a, b, c,d sont des entiers)

Hypothèse 2 : a=1, b=1
(1) :
$22 (10c+d) = 1100 + (10c+d)$
$10c+d = \frac 1100 21$
Impossible : 1100 non divisible par 21

Hypothèse 2 : a=1, b=2
(1) :
$24 (10c+d) = 1200 + (10c+d)$
$10c+d = \frac 1200 23$
Impossible : 1200 non divisible par 23

Hypothèse 2 : a=1, b=3
(1) :
$26 (10c+d) = 1300 + (10c+d)$
$10c+d = \frac 1300 25$
$10c+d = 52 = 50 + 2$
c=5
d=2

Année= 1352