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Énigme de la semaine 19

par MOTTIER Pierre

mardi févr. 2015 3

Auf dem Kopf !

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Après un repas bien arrosé, le capitaine Haddock se fait sermonner par Tintin :

« Capitaine, ce n’est plus possible ! Sur cette table, la bouteille de whisky était encore pleine hier, et maintenant la hauteur du liquide n’est plus que de 14 cm. »

« Mille millions de mille sabords », répond le capitaine en retournant la bouteille, « le whisky arrive encore à 19 cm au-dessus du bouchon ! »

Sachant que la bouteille a une contenance de 0,76 litre jusqu’en dessous du bouchon, calculer en cm³ le volume du whisky qui s’y trouve encore.

Messages

1. Énigme de la semaine 19, 6 février 2015, 18:14, par Pham Q. Trang

Bonjour,
Notre réponse se trouve ci-dessous.
Codialement, BOKHARI Atika & PHAM Q. Trang - 2A

Soit n le volume de la partie vide au fond de la bouteille.
Dans la première situation, le volume du liquide est égal à :
V1 = π x r² x h - n
V1 = π x 3,5² x 14 - n
V1 = 14π x 3,5² - n cm³

Dans la deuxième situation, le volume est égal à la contenance de la bouteille moins le cylindre de 8 cm de haut. La contenance de la bouteille est 0,76 L donc 760 cm³. Donc V2 = 760 - (8π x 3,5² - n)

Pour obtenir la valeur de n, on doit résoudre l’équation suivante :
V1 = V2
14π x 3,5² - n = 760 - (8π x 3,5² - n)
14π x 3,5² - n = 760 - 8π x 3,5² + n
14π x 3,5² - 760 = - 8π x 3,5² + 2n
2n = 22π x 3,5² - 760
n = 11π x 3,5² - 380

Le volume de la partie vide mesure alors 11π x 3,5² - 380 cm³.
V = 14π x 3,5² - n
V = 14π x 3,5² - (11π x 3,5² - 380)
V = 3π x 3,5² + 380
V = 36,75π + 380

Le volume du liquide est donc 36,75π + 380 cm³ ou approximativement 495,45 cm³.
2. Énigme de la semaine 19, 7 février 2015, 12:55, par NDW

Bonjour Sherlock,

Il y a environ $495 cm^3$ de whisky.

Notations :
$V_t$ : volume total du contenu de la bouteille (air + whisky) : $760 cm^3$
$V_a$ : volume de l’air
$V_w$ : volume du whisky
$V_d$ : volume delta correspondant au cylindre contenu entre les 2 niveaux (entre position 1 et 2).
$h$ : hauteur du cylindre du volume delta (14-8 = 6cm)
$D$ : diamètre du cylindre du volume delta (7cm)

Volume total (air + whisky) : (1)
$V_t = V_a + V_w$

Volume delta :
Volume du cylindre :
$V_d = \pi {\frac {D} {2} }^{2} h$
$V_d = 3 {\frac {49} {2} } \pi$

Si l’on pivote de 180° sur le papier la bouteille qui est en position 2 (le whisky est en haut), on peut visualiser et calculer le volume delta en fonction du volume d’air et de whisky (2) :
$V_d= V_w - V_a$

En remplaçant le volume d’air de (2) dans (1) :

$V_t =(V_w -V_d) +V_w$
$V_w =\frac{ V_t + V_d} {2}=$
$V_w = \frac{ 760 + 3 \frac {49 \pi}{2}} {2}$
$V_w \approx 495,45 cm^3$