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Énigme de la semaine 2

par MOTTIER Pierre

mercredi sept. 2014 17

Gardez vos distances.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Lors d’un meeting aérien, quatre avions volent en formation.

Chaque avion est à égale distance des trois autres ; leur altitude est alors de 800 m pour trois d’entre eux et de
1 000 m pour le quatrième.

Calculer la distance qui sépare deux avions.

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1. Énigme de la semaine 2, 23 septembre 2014, 00:56, par Claudel Gilles

Les quatre avions sont aux sommets d’un tétraèdre régulier de côté a ; sa hauteur H est égale à 200 m. Le pied O de la hauteur, à la cote 800, est à la distance b de chacun des trois avions de ce plan. Voir figure dynamique Geogebra. On cherche la relation entre la distance a séparant deux avions et la hauteur H.

Dans le triangle OA’C, on a :
$b=\frac{\frac{a}{2}}{\cos(\frac{\pi}{6})}$
$b=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Dans le triangle OCD, on a :
$b^2+H^2=a^2$
$\frac{a^2}{3}+H^2=a^2$
$a^2=\frac{3}{2}\times H^2$
$a=\sqrt{\frac{3}{2}}\times H$

Pour H = 200 m, le résultat numérique, avec trois chiffres significatifs, est :
$a=245~;m$