Énigme de la semaine 22

Croissez et multipliez.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Aurélie s’intéresse à trois types de bactéries désignées par les lettres A, B, C .
A l’instant initial, elle a le même nombre de bactéries de chacune des trois espèces.
Mais ensuite, le nombre de bactéries A doublera toutes les 2 heures, le nombre de bactéries B triplera toutes les 3 heures, le nombre de bactéries C sera multiplié par 5 toutes les 5 heures.

Quelle est l’espèce dont la population se développera le plus vite ? le moins vite ? Expliquer.

Solution

Deux populations sont clairement comparables pour des multiples communs de leurs « périodes ».

Après 24 heures, le classement est déjà bien établi : il faudrait attendre 25 heures pour que C = 3 125.
Après 30 heures, on a .
Le classement est alors : C < A < B .
Remarque : En calculant successivement , et , on voit que les populations A, B et C augmentent respectivement d’environ 41,4%, 44,2% et 38% par heure.