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Énigme de la semaine 22

par MOTTIER Pierre

mardi mars 2015 10

Sur le réseau.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

On numérote les nœuds du réseau en suivant les diagonales, comme sur le dessin ci-contre.
Chaque nœud a des coordonnées, par exemple le nœud numéroté 18 a pour coordonnées (3 ; 2).

Quelles sont les coordonnées du nœud numéroté 2015 ?
Justifier votre réponse.

Messages

1. Énigme de la semaine 22, 13 mars 2015, 23:13, par Pham Q. Trang

Bonsoir monsieur,

La démarche qui nous a permis de trouver la réponse est un peu difficile à expliquer mais nous allons essayer de notre mieux :

D’après le dessin, la valeur des nœuds qui ont l’abscisse égale à 0 augmente de z qui au début est égale à 1 mais augmente à chaque fois de 1.
Donc : soit n la valeur du nœud à la base du repère (donc 0), z = 1
n = n + z = 1 ..... 1 (0 ; 1)
z = z + 1 = 2
n = n + z = 3 ..... 3 (0 ; 2)
z = z + 1 = 3
n = n + z = 6 ..... 6 (0 ; 3)

Puis pour les abscisses, horizontalement d’abord, sur la droite y=0, la valeur des nœuds augmente de s qui au début est égale à 2 mais augmente de 1 à chaque fois.
Donc : n reprend ici la valeur du nœud à la base du repère, s = 2
n = n + s = 2 ..... 2 (1 ; 0)
s = s + 1 = 3
n = n + s = 5 ..... 5 (2 ; 0)
s = s + 1 = 4
n = n + s = 9 ..... 9 (3 ; 0)

Mais verticalement, quand l’ordonnée augmente, la valeur du nœud augmente (comme cela a été dit dans la première partie du raisonnement) ainsi que la valeur s au début. Pour les transitions de l’abscisse des nœuds de 0 à 1 seulement, s augmente de 1 quand l’ordonnée augmente.
Donc : Sur la droite y=0, on commence avec s = 2
Sur la droite y=1, s = s + 1 = 3
Sur la droite y=2, s = s + 1 = 4
Sur la droite y=3, s = s + 1 = 5...

Avec ces données, nous avons créé un programme joint ci-dessous dont on espère qu’il aidera à la compréhension de la démarche. Il permet de trouver les coordonnées du nœud recherché après avoir saisi la valeur de celui-ci.

Nous avons donc trouvé que le nœud numéroté 2015 a pour coordonnées (62 ; 0).

Cordialement, TESSIER Leo & PHAM Q. Trang - 2A
2. Énigme de la semaine 22, 15 mars 2015, 10:11, par ndw

Bonjour Sherlock,

Les coordonnées pour 2015 sont (62,0).

Notations :
$X_n$ : abscisse pour l’indice $n$
$Y_n$ : ordonnée pour l’indice $n$

Formule de récurrence sur les axes :
$X_{n+1} = X_n + n+1$
$Y_{n+1} = Y_n + n$

La liste des valeurs pour $X_n$ et $Y_n$ est présentée dans le fichier Excel.
On remarque que 2015 est sur l’axe des abscisses pour l’indice $n=62$ .
Les coordonnées (X,Y) sont : (62,0).