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Énigme de la semaine 22

par MOTTIER Pierre

mardi févr. 2016 23

Vendanges tardives.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Germain fait vendanger deux parcelles dont l’une a une aire double de l’autre.
Le premier jour, toute l’équipe des vendangeurs travaille sur la grande parcelle.
Pour le deuxième jour, l’équipe se scinde en deux groupes égaux. Un des groupes reste dans la grande parcelle tandis que l’autre entame la petite.
À la fin de ces deux jours, la grande parcelle est entièrement terminée, mais non la petite qui occupe deux des vendangeurs pendant toute la troisième journée.
On suppose que les vendangeurs travaillent au même rythme et que les durées des journées de travail sont égales.
Combien l’équipe compte-t-elle de vendangeurs ?

Messages

1. Énigme de la semaine 22, 29 février 2016, 14:25, par NDW

Bonjour Sherlock,

Il faut 8 vendangeurs (c’est le chiffre du bonheur ici )

NB :
L’affichage latex est toujours incorrect pour moi : c’est effectivement très étrange ! (cela se produit peut-être lorsque l’on accède au site depuis l’extérieur ?)

Notations :
$v$ : vitesse de travail d’un vendangeur (m²/jour)
$N$ : nombre total de vendangeurs
$S$ : surface totale à vendanger
$\frac {2} {3} S$ : surface de la grande parcelle (= double de la surface de la petite parcelle)
$\frac {1} {3} S$ : surface de la petite parcelle

Calcul du nombre de vendangeurs :
La grande parcelle est vendangée en 2 jours : le 1^er jour par N ouvriers agricoles, puis le 2^e par $\frac {N} {2}$ ouvriers :
$\frac {2} {3} S = S_{1} + S_{2} = N v + \frac {N} {2} v$
$\frac {2} {3} S = \frac {3} {2} N v$
La petite parcelle est vendangée en 2 jours : le 1^er jour par $\frac {N} {2}$ ouvriers, puis le 2^e par 2 ouvriers :
$\frac {1} {3} S = \frac {N} {2} v + 2 v$
$\frac {1} {3} S = v (\frac {N} {2} + 2)$

$\frac {2} {3} (3 v (\frac {N} {2} + 2)) = \frac {3} {2} v N$
$N + 4 = \frac {3} {2} N$
$N = 8$