Énigme de la semaine 22

À faire tourner les têtes pensantes...

(Extrait du Rallye mathématique d’Aquitaine)

À la fête foraine, Xavier (X), Claude (C1), Christian (C2) et Gabriel (G) osent s’aventurer dans un manège mathématique. Cette attraction propose à nos quatre intrépides de prendre place dans une nacelle carrée, chacun à un sommet. La nacelle se déplace alors sans glisser autour d’une base fixe qui a la forme d’un triangle équilatéral. Ce mouvement se résume à une succession de rotations autour d’un sommet de la nacelle en contact avec la base en suivant ce schéma :

La nacelle s’arrêtera lorsque les quatre casse-cou auront retrouvé chacun leur position initiale.

1. Combien de tours de la base la nacelle aura-t-elle alors effectués ?
2. Quelle est la longueur de la trajectoire de Xavier, sachant que la nacelle est un carré de côté 1 m.

Solution

La trajectoire de Xavier est représentée :

• en vert pour le 1^er tour ;
• en bleu pour le 2^e tour ;
• en rouge pour le 3^e tour ;
• en noir pour le 4^e tour.

Et on revient au point de départ dans la position initiale exactement.
4 tours sont donc nécessaires.