Énigme de la semaine 22

Léonard et l’arbalète.

(Extrait du Rallye mathématiques de l’académie de Lyon)

Léonard de Vinci au 15^e siècle s’est intéressé aux lunules. Il a complété la « collection » commencée par Hippocrate au 5^e siècle avant JC. Parmi les 172 lunules qu’il a décrites et dessinées, l’une pourrait s’appeler l’arbalète de Léonard. Nous vous donnons un schéma, ses dimensions principales et des éléments de sa construction :

• AB = 20 cm
• AC = 10 cm
• un cercle de diamètre [AB]
• un cercle de centre A et de rayon 20 cm
• un angle de 45°
• un rectangle de largeur AC et de longueur AB
• une symétrie axiale

Dessinez l’arbalète de Léonard à l’échelle 1/4.
Calculez l’aire en cm² de l’arbalète de Léonard, en vraie grandeur, et sur votre dessin.

Solution

La figure est composée de deux secteurs angulaires de rayon 20 cm et d’angle 45°(leur aire est donc celle d’un quart de disque de rayon 20 cm, soit cm²) et d’un rectangle de dimensions 20 cm et 10 cm (son aire est de 200 cm²). On a ensuite découpé deux demi-disques de rayon 10 cm (leur aire vaut cm²).
L’aire de l’arbalète est donc, en grandeur réelle, de 200 cm².
Pour avoir l’aire de la figure dessinée à l’échelle 1/4, il suffit de diviser ce résultat par 16. Ce qui donne 12,5 cm².