Énigme de la semaine 23

Fourmi-diable...

(Extrait du Rallye mathématique d’Aquitaine)

Dans la forêt amazonienne, un aventurier a découvert une bien étrange colonie de fourmis. Il a appelé cette variété de fourmis les Bellicus-Carrus ; voici pourquoi : lorsque ces fourmis attaquent une autre colonie, elles forment un escadron de combat. Un escadron de Bellicus-Carrus est toujours composé de fourmis disposées en carré.
La reine des Bellicus-Carrus, particulièrement belliqueuse, décide d’attaquer une colonie voisine très puissante. Sa stratégie consiste à réunir les escadrons A et B pour former un escadron C. Cet escadron subit une lourde défaite, seule la dernière rangée reste en vie ! Avec les fourmis survivantes, la reine forme un escadron D qu’elle préfère subdiviser en deux escadrons E et F qu’elle envoie au combat. À nouveau, seule la dernière rangée de E et la dernière rangée de F échappent au massacre. Il reste alors 23 fourmis.

Combien y avait-il de fourmis dans l’escadron C ?

Solution

a, b, c, d, e et f désignent les nombres de rangées respectifs des escadrons A, B, C, D, E et F.
Ce sont évidemment des nombres entiers naturels. Ainsi, par exemple, l’escadron C comporte au total c² fourmis.
On peut écrire grâce à la stratégie de la reine :
c² = a² + b² (l’escadron C est formé des escadrons A et B)
d² = c (la dernière rangée de l’escadron C forme un escadron D)
d² = e² + f² (l’escadron D forme deux escadrons E et F)
e + f = 23 (la dernière rangée des escadrons E et F survivent, soit 23 fourmis)
il suffit d’étudier chaque possibilité pour e et f.
La seule possibilité est donc 83 521 fourmis pour l’escadron C.