Énigme de la semaine 24

Black blanc bloque.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Les jetons ont une face blanche et une face noire. Au départ, toutes les faces visibles sont blanches.
On bloque un jeton avec un doigt et on retourne alors le ou les jetons voisins.
Le but du jeu est à d’avoir toutes les faces noires visibles. On recommence autant de fois que nécessaire.
Y a-t-il une solution pour un alignement de 2015 jetons ?

Solution

Il semble que les alignements n’ayant pas de solution soient ceux dont le nombre de jetons est de la forme 4n+1, mais c’est assez difficile à démontrer.
Par contre, il est plus facile d’établir qu’un alignement de 2015 jetons peut être retourné : on commence par la gauche, on retourne les 2012 premiers jetons par groupes de 4 suivant le modèle de la solution ligne 4, puis on retourne les trois derniers suivant la solution ligne 3.