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Énigme de la semaine 25

par MOTTIER Pierre

Toujours plus haut.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Dans la capitale d’un pays lointain, on construit chaque année un immeuble.
L’immeuble de l’année doit avoir un étage de plus que celui de l’année précédente.
Le premier immeuble construit a un nombre modeste d’étages.
À la fin de l’année 2013, la somme des nombres d’étages de toutes les tours est égale à 2013.
Quel est le nombre d’étages de l’immeuble construit en 2013 ? En quelle année a été construit le premier immeuble ?

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    Le nombre d’étages de l’immeuble construit en 2013 est de 63 (presque le double de mon immeuble).
    Le 1er immeuble a été construit en 1953

    Notations :
    U0 : nombre d’étages pour l’immeuble initial
    Un : nombre d’étages pour l’immeuble construit l’année n
    Sn : somme des étages de l’année n

    La croissance des immeubles correspond à une suite :
    U0
    U1 = U0 +1
    U2 = U1 +1 = U0 + 1 + 1 = U0 + 2
    U3 = U2 +1 = U0 + 3
    ...
    Un = U0 + n

    L’année N, la somme des étages s’écrit :
    Sn = \sum_{k=0}^n Uk
    Sn = (n+1)U0 + \sum_{k=0}^n k
    Sn = (n+1)U0 + \frac {n(n+1)}{2}
    (http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre...)

    Pour l’année n, le total des étages des immeubles vaut 2013 donc :
    Sn= 2013= (n+1)U0 + \frac {n(n+1)}{2}

    Pour connaître n, on résoud l’équation du 2e degré :
    (n+1)U0 + \frac {n(n+1)}{2} -2013 =0
    \frac {{n}^2} {2} + (U0 +\frac {1} {2})n + (U0 -2013) = 0
    On utilise la formule du discriminant :
    n=\frac{-b\pm\sqrt{\color{Red}b^2-4ac}}{2a}

    Résultat :
    Dans le fichier excel joint, le calcul de n est effectué pour un nombre d’étages initial (U0) variant de 1 à 50.
    Le nombre d’années étant un entier, seuls les nombres n=60 et 32 peuvent correspondre.
    La solution n=32 est éliminée, car cela implique que l’immeuble initial a 45 étages
    Or, il est précisé que le nombre d’étages initial est modeste
    Seule la solution n=60 peut être prise en compte.

    L’immeuble construit en 2013 a 63 étages (U60=U0+n=3+60).
    Le 1er immeuble, comportant 3 étages, a donc été construit en 1953 (2013-60)

  • Bonjour M. Tux,

    J’ai fait un petit algorithme rigolo parce que je suis un vrai paresseux et j’ai trouvé plusieurs solutions mais la première est la plus plausible quant au contexte : 3 étages au départ et 63 étages en 2013.

    Le pingouin masqué

  • Bonjour M. Tux,

    J’ai aussi fait une fonction à deux variables a et x avec Geogebra (a le nombre d’étages initial et x le nombre d’années écoulées). J’obtiens alors que pour a = 3 et x = 60 le nombre total d’étages est de 2013 ; 63 étages pour l’immeuble de 2013 et 60 ans plus tôt un immeuble de départ avec 3 étages.

    Le pingouin masqué

  • J’ai trouvé deux résultats à l’énigme 25 :

    étant donné que le nombre d’étages de départ est censé être modeste, il semblerait que le premier immeuble ai été construit en 1953 et qu’il comportait 3 étages. Celui en 2013 aurait donc 63 étages.
    Le deuxième résultat serait que le premier étage aurait été construit en 1938 avec 45 étages, mais ce nombre d’étages semble peu modeste surtout à l’époque. Ceci donnerait donc un immeuble de 77 étages en 2013.
    Ci-joint le fichier algobox que j’ai créé pour trouver ces deux solutions

    Merci beaucoup pour cette énigme très intéressante !

  • J’ai résolu l’énigme en utilisant un tableur. Chaque ligne correspond a une somme d’étages commençant par un nombre d’étages de départ différent. On remarque que la ligne qui commence avec 3 étages et qui termine par 63 correspond a la somme 2013.

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