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Énigme de la semaine 26

par MOTTIER Pierre

Huit triangles dans un carré.

(Extrait de Rallye mathématiques de l’académie de Lyon)

Un carré est découpé en 8 triangles rectangles.

  • la longueur d’un côté de l’angle droit est le double de la longueur d’un autre côté de ce triangle,
  • l’aire du triangle (en cm2) est un entier.

    Quelle est, au minimum, l’aire de ce carré (en cm2) ?

Solution

Les triangles ont une aire entière. Tous les triangles sont semblables (l’un est toujours un agrandissement ou une réduction de l’autre) : les côtés de l’un sont toujours proportionnels aux côtés de l’autre.

A_{ABC}=\frac{AB\timesBC}{2}
A_{ABC}=\frac{AB\times2AB}{2}
\mathbf{A_{ABC}=AB^{2}}

Alors :
BC=2AB : A_{BCD}=4\times A_{ABC} : \mathbf{A_{BCD}=4AB^{2}}
AC=AB\sqrt{5}
CD=4AB : A_{CDE}=16\times A_{ABC} : \mathbf{A_{CDE}=16AB^{2}}
DE=8AB=\frac{8AC}{\sqrt{5}} : A_{IDE}=\frac{64}{5} \times A_{ABC} : \mathbf{A_{IDE}=\frac{64}{5} \times AB^{2}}
AF=BC+DE=10AB=\frac{10AC}{\sqrt{5}} : A_{AFJ}=\frac{100}{5} \times A_{ABC}\mathbf{A_{AFJ}=20AB^{2}}
EF=5AB=\frac{5AC}{\sqrt{5}} : A_{EFJ}=\frac{25}{5} \times A_{ABC} : \mathbf{A_{EFJ}=5AB^{2}}
HG=10AB=5BC : A_{HGE}=25A_{ABC} : \mathbf{A_{HGE}=25AB^{2}}
HB=9AB=\frac{9AC}{\sqrt{5}} : A_{HBI}=\frac{81}{5} \times A_{ABC} : \mathbf{A_{HBI}=\frac{81}{5} \times AB^{2}}

Pour que tous les triangles aient effectivement une aire entière, la plus petite possible, il faut et il suffit de choisir : AB^{2}=5 soit \mathbf{AB=\sqrt{5}} cm.
On a alors : HG=10\sqrt{5} cm.
Et l’aire cherchée est : \mathbf{500} cm2.

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