Énigme de la semaine 27

Addition codée.

(Extrait du Rallye mathématiques de l’académie de Lyon)

Dans cette addition, chaque symbole représente toujours le même chiffre et deux symboles différents représentent des chiffres différents.

Retrouve la valeur de la somme.

Solution

Remplaçons « livre », « crayon de bois » et « ciseaux » par l, b et c.

D’après la colonne des unités (colonne de gauche), l est pair.

Regardons la colonne des unités de mille (colonne de droite) :

c ne peut pas être 0...

Si l vaut 8, alors c vaut 9, ce qui est impossible car la somme des centaines (troisième colonne en partant de la gauche) entraînerait une retenue au moins égale à 2...

Si l vaut 6 alors c vaut 9 (7 ne peut convenir pour la même raison qu’au-dessus. 8 ne convient pas non plus, du fait de la colonne des centaines) et la somme des unités (le double de b+c) vaut : 16, 26 ou 36. b+c vaut donc 8 (impossible) ou 13 (b=4) ou 18 (b=9 : impossible)
Essayons :
494+969+994+6 969=9 426 : presque bon... Dommage...

Si l vaut 4 alors c est supérieur ou égal à 6.
D’après la colonne des unités, b+c vaut 7, 12 ou 17. Et la retenue est 1, 2 ou 3
Dans la colonne des dizaines, on a alors 2c+9 ou 2c+10 ou 2c+11, selon la valeur de la retenue des unités.
La retenue des dizaines est nécessairement 2. Et la colonne des centaines donne 3c+b+2 : si c=6, on a b+20, somme intéressante puisque son chiffre des unités est b.
En revenant à la colonne des unités, il apparaît alors que, dans ce cas, la seule possibilité pour b est 1.
Essayons :
161+646+661+4 646=6 114 : chouette ! Ça marche !

Finalement :
l=4
c=6
b=1