Énigme de la semaine 27

Sangaku.

(Extrait du Rallye mathématiques de l’académie de Lyon)

ABC est un triangle rectangle isocèle. Les deux cercles sont tangents entre eux, et tangents en A et B à la droite (AB).

Exprimer le plus simplement possible l’aire du triangle ABC en fonction des rayons r et R des deux cercles.

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Solution

Une difficulté intéressante consiste déjà, dans les Sangakus, à trouver un programme de construction de la configuration géométrique proposée, avant même d’aborder le problème à résoudre : cela permet d’ailleurs de bien maîtriser l’ensemble des propriétés de la figure, dont une analyse est nécessaire.
Ici, commençons par tracer les deux cercles C et C’ tangents : leurs centres respectifs, O et O’, sont distants de r+R. Ils sont tangents en un point noté T.
C’ est un agrandissement de C.
Plaçons un point M sur C, non aligné avec O et O’. L’image de M par l’agrandissement est sur C’ et sur la parallèle à (OM) passant par O’ : choisissons le point d’intersection de ces deux lignes qui est du même côté de (OO’) que M et nommons le M’. Le point d’intersection I de (OO’) et de (MM’) est le centre de l’agrandissement (les triangles IMO est IM’O’ sont en situation de Thalès).
Traçons ensuite le cercle de diamètre [IO] et nommons A l’un de ses points d’intersection avec C : le triangle ACO est rectangle en A et la droite (IA) est tangente au cercle C ; elle est alors aussi tangente au cercle C’, en B. Pour déterminer correctement la position de B, il suffit de tracer la parallèle à (OA) passant par O’.
C est alors l’un des deux points d’intersection de la médiatrice de [AB] et du cercle de diamètre [AB].

L’aire du triangle ABC vaut .
Plaçons alors D tel que ABDO soit un rectangle : .
Dans le triangle ODO’, rectangle en D, d’après le théorème de Pythagore,





L’aire du triangle ABC vaut dont Rr.

Un peu de lecture, pour les curieux, sur la page de Géry Huvent.