Énigme de la semaine 29

Triangles calés.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

ABC est un triangle équilatéral de 8 cm de côté.
On place 3 points A’, B’ et C’, respectivement sur [AB], [BC] et [CA], de sorte que
AA’ = BB’ = CC’.
Comment faut-il choisir la distance AA’ pour que les triangles AA’C’, BB’A’ et CC’B’ soient rectangles respectivement en A’, B’ et C’ ?

Solution

Analyse : Supposons que le triangle AA’C’ est rectangle en A’.
Soit I le milieu de [AB].
Le triangle ABC étant équilatéral, (CI) est la hauteur issue de C.
On a alors : (A’C’) // (AI)
Les triangles AA’C’ et AIC sont en situation de Thalès.

Synthèse (Réciproque) : Supposons que
La réciproque du théorème de Thalès permet de montrer que : (A’C’) // (AI)
On arrive facilement à la conclusion que AA’C’ est rectangle en A’.

Conclusion : une condition nécessaire et suffisante pour que AA’C’ soit rectangle en A’ est .

De même pour les deux autres triangles.