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Énigme de la semaine 3

par MOTTIER Pierre

mardi sept. 2015 15

Riz-ra bien qui riz-ra le dernier.

Au début de l’année 1852, l’empereur Tự Đực demande à son ministre des finances, Hà Duy Phiên, d’apporter une attention particulière au paiement de l’impôt foncier.

En effet, il a entendu dire que l’une des 16 provinces tonkinoises (Hà Tĩnh, Nghệ An, Thanh Hóa, Ninh Bình, Nam Định, Hưng Yên, Hà Nội, Hải Dương, Sơn Tây, Bắc Ninh, Quảng Yên, Hưng Hóa, Tuyên Quang, Cao Bằng, Thái Nguyên, Lạng Sơn) triche... L’impôt sur les rizières communales de deuxième catégorie s’élève à 56 thăng de riz/mẫu (1 thăng = 2 litres ; 1 mẫu = 0,497 ha).

Les 16 mandarins administratifs de ces provinces doivent apporter l’impôt conditionné en sacs de 56 thăng, mais l’un d’entre eux prélève régulièrement 1 thăng sur chaque sac, flouant ainsi l’administration de l’empereur. L’information est sûre mais ne précise pas de quel mandarin il s’agit...

Mandaté par Tự Đực, Hà Duy Phiên vient, cette année-là, vérifier le paiement de l’impôt : les 16 mandarins sont réunis devant lui, leurs sacs de riz devant eux, autant de sacs de riz qu’il y a de mẫu de terres rizicoles communales dans leur province.

Hà Duy Phiên possède une balance très précise et souhaite, pour asseoir son autorité, confondre le mandarin fautif en effectuant une seule pesée.

Comment va-t-il procéder ?

Messages

1. Énigme de la semaine 3, 19 septembre 2015, 14:34
Bonjour Sherlock

C’est également un plaisir de pouvoir vous rejoindre cette année pour résoudre de nouvelles énigmes !
Merci beaucoup pour les précisions sur Latex ! (j’ai encore dû faire une erreur car l’affichage sur la prévisualisation est incorrect .)

Pour l’énigme de cette semaine :

Le ministre des finances effectue une pesée pour obtenir la masse réelle totale :
$P_r$
La masse réelle correspond à l’égalité (le n°16 correspond au tricheur, et la masse de chacun de ses sacs est de 55) :
$P_r= 55 N_{16} +56 \sum_{k=1}^{k=15} N_k$
Le ministre calcule avec son boulier la masse théorique en multipliant le nombre de sacs de tous les mandarins par 56 :
$P_t = 56 \sum_{k=1}^{k=16} N_k$

Puis il fait la différence des 2 égalités :
$P_t -P_r = (56 -55 ) N_{16}$
${P_t -P_r} = N_{16}$
La différence entre la masse théorique et la masse réelle doit correspondre au nombre de sacs du tricheur.
Comme chaque mandarin a ses sacs devant lui, le coupable sera celui qui a ce nombre de sacs $N_{16}$

Pour l’énigme de la semaine 1 (s’il n’est pas trop tard pour répondre ) : trop de police à Métropolis :
1/ 12 policiers minimum
2/ 165 policiers maximum
(liste des matricules possibles dans le fichier Excel)
Caractéristiques des matricules des policiers :
- 3 chiffres a,b,c
- a de 0 à 9
- a > b+c
- 1. Énigme de la semaine 3, 22 septembre 2015, 16:15, par Mottier Pierre
  
  Bonjour NDW,
  
  Personne n’ayant répondu à l’énigme 1 et la solution n’étant pas encore affichée lorsque j’ai reçu ta réponse (tout à fait correcte), celle-ci est comptabilisée sans problème.
  Les écritures mathématiques sont bien passées (même si l’affichage au moment de la prévisualisation est hélas incorrect... Il ne s’agit pas d’un problème dans l’écriture des formules mais d’un problème interne au site, je crois... Enfin, c’est comme ça...).
  Pour l’énigme 3, si plusieurs provinces (dont celle administrée par le tricheur) ont la même superficie de terres rizicoles, ta méthode ne permet pas de distinguer le tricheur de l’honnête mandarin. Une petite astuce permet d’éviter cette éventualité (mais sa mise en œuvre nécessite que l’impôt soit suffisamment important dans les différentes provinces, ce qui paraît raisonnable...) : elle consiste à peser (en une seule fois) 1 sac du premier mandarin, 2 sacs du second, ..., jusqu’à 16 sacs du seizième mandarin : le ministre pèsera ainsi l’équivalent de $(1+2+...+15+16) \times 56 - n$ thăng de riz, n étant le numéro du mandarin resquilleur !