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Énigme de la semaine 3
par
Saute-mouton le plus long
(Extrait du forum des énigmes mathématiques du site « l’île des mathématiques »)
C’est l’histoire d’un mouton qui s’ennuie dans son petit enclos, et qui décide d’aller visiter les enclos voisins en faisant des sauts.
Dans cette énigme, les enclos sont des carrés alignés et numérotés comme le montre l’image ci-dessous. On prendra une longueur de 1 comme côté de chaque enclos carré (peu importe l’unité).
Le mouton est dans l’enclos 1 et décide de visiter chaque enclos une seule fois chacun, puis de revenir à l’enclos 1.
Pour passer le temps, l’objectif du mouton est que son trajet soit le plus long possible.
Par exemple, pour le cas des 4 enclos, le trajet le plus long est le suivant : 1-4-2-3-1, ce qui fait une longueur maximale de : 3 + 2 + 1 + 2 = 8.
Quel est le trajet le plus long dans le cas des 6 enclos alignés ?
S’il existe plusieurs trajets pour la longueur maximale, un seul trajet suffira.
Messages
1. Énigme de la semaine 3, 5 octobre 2013, 13:59, par Gilles Claudel
Toutes solutions où les sauts impairs (1er saut, 3e saut, 5e saut) aboutissent dans un enclos d’indice supérieur strictement à 3 et où, a fortiori, tous les sauts pairs (2e, 4e et 6e et dernier sauts) aboutissent dans un enclos d’indice inférieur strictement à 4 répondent à la problématique.
Ce qui donne 12 solutions possibles. En effet, si le premier saut aboutit dans l’enclos 4, le 2e saut pourra aboutir dans l’enclos 2 ou 3. Pour chacune de ces deux possibilités, le 3e saut pourra aboutir dans les enclos 5 ou 6. Soient 4 possibilités si le mouton commence à sauter vers le 4.
Comme au départ, il a le choix vers l’enclos 4, 5 ou 6, cela fait 3 × 2 × 2 = 12 solutions.
Toutes ces solutions ont une longueur de 18.
Les voici ci-dessous :
En terme d’arrangement, le nombre de possibilités qu’a le mouton est A55 = 5 ! = 120. Voir la vérification de la conjecture dans le tableau excel joint.