Énigme de la semaine 30

Va-t-elle prendre la mouche ?

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Un abat-jour a la forme d’une pyramide à base carrée de côté 30 cm, ouverte en bas et dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux.
Une mouche est prise dans la toile d’une araignée à l’un des coins de la base.
L’araignée, postée au coin opposé décide alors de se diriger vers sa proie par les faces latérales de l’abat-jour en suivant le chemin le plus court.

Quelle est la longueur exacte de ce chemin ?

Solution

Voici le patron de l’abat-jour :

Le chemin le plus court pour aller d’un point à un autre est la ligne droite.
Les deux faces latérales sur lesquelles va se déplacer l’araignée sont des triangles équilatéraux de côté 30 cm.
Elles forment, sur le patron, un losange.
Le chemin qui nous intéresse est la grande diagonale de ce losange.
Les diagonales d’un losange étant perpendiculaires en leur milieu, le chemin suivi par l’araignée passe par le milieu de l’arête commune aux deux faces sur lesquelles elle va se déplacer.
La hauteur d’un triangle équilatéral de côté 30 cm a pour longueur cm (le théorème de Pythagore, ou la trigonométrie dans le triangle rectangle, permet d’arriver rapidement à ce résultat).
Le chemin le plus court de l’araignée à la mouche a donc pour longueur cm.