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Énigme de la semaine 32

par MOTTIER Pierre

mardi mai 2016 24

Promenade nocturne.

(Extrait du forum des énigmes mathématiques du site « l’île des mathématiques »)

Cette nuit, j’avais un peu de mal à dormir, alors j’ai décidé d’aller faire une petite marche, afin de réfléchir aux prochaines énigmes à rédiger !
Et en revenant chez moi, j’ai eu un choc en regardant l’heure sur ma grande horloge. En effet, pendant un instant, j’ai cru ne jamais être parti, car l’heure indiquée était exactement la même qu’au moment de mon départ !
J’en vois déjà qui pensent que mon horloge ne fonctionne plus, mais l’explication est bien plus extraordinaire : entre les moments de départ et d’arrivée, les aiguilles des heures et des minutes avaient pris exactement la place l’une de l’autre, ce qui explique ma confusion.
Je ne sais plus exactement à quelle heure je suis parti, mais c’était entre 3h00 et 4h00 du matin. De même, je me souviens être revenu entre 6h00 et 7h00 du matin.

Quelle a été la durée de ma promenade ?
Je veux la réponse en heures, minutes et secondes, avec une précision à la seconde.

Messages

1. Énigme de la semaine 32, 25 mai 2016, 20:17, par NDW

Bonjour Sherlock,

Vous vous êtes promené cette nuit là pendant 2h 46 min 09s

Notations :
Vitesse de rotation de l’aiguille des heures : 30°/h (car elle fait 1 tour (360°) en 12h)
Vitesse de rotation de l’aiguille des minutes : 0,1°/s (car elle fait un tour en 3600s)
${\alpha}_{hd}$ : Angle (°) de l’aiguille de l’heure au départ (par rapport à la position ’midi’)
${\alpha}_{md}$ : Angle (°) de l’aiguille des minutes au départ (par rapport à la position ’midi’)
${\alpha}_{hr}$ : Angle (°) de l’aiguille de l’heure au retour (par rapport à la position ’midi’)
${\alpha}_{mr}$ : Angle (°) de l’aiguille des minutes au retour (par rapport à la position ’midi’)
$x_{1}$ : nombre de secondes après l’heure de départ
$x_{2}$ : nombre de secondes après l’heure de retour

Calcul des angles pour l’heure de départ :
L’heure de départ est 3h $x_1$ secondes (seule possibilité pour que l’heure de retour soit entre 6h et 7h)
Pour connaître la position exacte de la petite aiguille, il faut ajouter à l’angle correspondant aux heures entières, l’angle correspondant à $x_1$ secondes
${\alpha}_{hd} = 30 (3) + 30 (\frac {x_{1}} {3600} )$

${\alpha}_{md} = \frac {x_{1}} {10}$

Calcul des angles pour l’heure de retour :
L’heure de retour est 6h $x_2$ secondes
Pour connaître la position exacte de la petite aiguille, il faut ajouter à l’angle correspondant aux heures entières, l’angle correspondant à $x_2$ secondes
${\alpha}_{hr} = 30 (6) + 30 (\frac {x_{2}} {3600} )$

${\alpha}_{mr} = \frac {x_{2}} {10}$

Egalités d’angles :
Au retour la petite aiguille et la grande aiguille sont inversées par rapport au départ :
${\alpha}_{hd} = {\alpha}_{mr}$
${\alpha}_{md} = {\alpha}_{hr}$

Calcul de l’heure de départ et de retour :
$30 (3) + 30 (\frac {x_{1}} {3600} ) = \frac {x_{2}} {10}$
$\frac {x_{1}} {10} = 30 (6) + 30 (\frac {x_{2}} {3600} )$

Résultats de la résolution des 2 équations du 1^er degré :
$x_{2} \approx 1057,34 s$
$x_{1} \approx 1888,12 s$

En convertissant les secondes en ’minutes secondes’
Heure de départ : 3h 31 minutes 28 s
Heure de retour : 6h 17 minutes 37 s

Durée : 2h 46 min 09 s
2. Énigme de la semaine 32, 25 mai 2016, 21:55, par DUONG Cong Minh

Bonjour, voici la réponse de l’énigme de la semaine 30 ( pardon, c’est un peu tard).
3. Énigme de la semaine 32, 25 mai 2016, 22:02, par DUONG Cong Minh

Bonjour, la réponse à cette énigme est de 2 heures 47 minutes 30 secondes. Merci.