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Énigme de la semaine 5

par MOTTIER Pierre

mardi oct. 2014 7

Pas habituel.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Pour traverser un centre commercial, Victorien emprunte un trottoir roulant, sur lequel il marche, de son pas habituel, pour gagner du temps. Il va ainsi d’une extrémité à l’autre de ce trottoir en 1 min 12 s.
Un jour, il fait l’expérience de remonter ce trottoir à contre-sens, en marchant toujours de son pas habituel. Il lui faut 6 min pour y parvenir.
Le lendemain, le trottoir roulant est en panne.
Combien de temps Victorien met-il alors pour aller d’une extrémité du trottoir roulant à l’autre en se déplaçant, bien sûr, de son pas habituel ?

Messages

1. Énigme de la semaine 5, 8 octobre 2014, 01:08, par NDW

Bonjour Sherlock,

Victorien met 2 minutes à effectuer la traversée quand le tapis roulant est en panne.

Notations :

$v_{m}$ : vitesse du tapis roulant
$v_{h}$ : vitesse de Victorien
$d$ : longueur du tapis
$t_{1}$ : temps de la traversée 1 dans le sens du tapis = 72s
$t_{2}$ : temps de traversée 2 dans le sens contraire = 360s
$t_{3}$ : temps de traversée 3 tapis en panne

(1) Traversée n°1 :
La vitesse par rapport au sol (fixe) est la somme des 2 vitesses :
$v_{h} + v_{m} = \frac {d} {t_{1}}$

(2) Traversée n°2
La vitesse par rapport au sol (fixe) est la différence des 2 vitesses (avec v_h >v_m$ pour que Victorien puisse arriver à l’autre bout sans reculer) :
$v_{h} - v_{m} = \frac {d} {t_{2}}$

(3) Traversée n°3
$v_{h} = \frac {d} {t_{3}}$

(1)+(2) :
$2v_{h}= \frac {d} {t_{1}} + \frac {d} {t_{2}}$

Remplacement de v_h dans l’expression (1)+(2) avec l’expression (3) :
$2 \frac {d} {t_{3}} = d (\frac {1} {t_{1}} + \frac {1} {t_{2}})$
$2 \frac {1} {t_{3}} = (\frac {1} {t_{1}} + \frac {1} {t_{2}})$
$t_{3} = 2 (\frac {1} {\frac {1} {t_{1}} + \frac {1} {t_{2}} })$
$t_{3} = 2 \frac {t_{1} t_{2}} {t_{1}+t_{2}}$

En remplaçant par les valeurs en secondes et simplifiant :
$t_{3}= 120 s$