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Énigme de la semaine 5

par MOTTIER Pierre

mardi sept. 2015 29

Octomanie.

(Extrait de Mathématiques sans Frontières)

Xiu souhaite personnaliser le code d’accès à 4 chiffres de son blog. Elle aime bien le chiffre 8 qui est synonyme de chance, de prospérité et d’infini dans la culture chinoise. Xiu se dit que le code « 8888 » est bien trop facile à tester. Quant à $8^{88}$ cela fait trop de chiffres ! Xiu fabrique son code ainsi :

le chiffre des unités du code est le chiffre des unités de $8^{88}$ ;
le chiffre des milliers du code est le premier chiffre de $8^{88}$ ;
entre les deux, elle inscrit le nombre total de chiffres que comporte l’écriture décimale de $8^{88}$ .

Trouver le code du blog de Xiu.

Messages

1. Énigme de la semaine 5, 5 octobre 2015, 10:33, par NDW

Bonjour Sherlock,
Le code est 8038.

Avec :
8 unité de 888
8 premier chiffre de 888
03 nombre de chiffres dans 888
- 1. Énigme de la semaine 5, 6 octobre 2015, 05:56, par Mottier Pierre
  
  Oui ! Bien sûr !
  Mais, cher NDW, tu as dû te demander d’où sortait cette énigme et quel en était l’intérêt réel ?
  La partie « Xiu se dit que le code « 8888 » est bien trop facile à tester. Quant à 888 cela fait trop de chiffres ! », surtout, a dû te paraître étrange, 888 ne comportant pas tant de chiffres que cela, et plutôt moins que 8888.
  En fait, ce n’est pas 888 qui devait apparaître ici, mais $8^{88}$ ...
  Je ferai plus attention la prochaine fois !
  Si tu veux te pencher sur cette version corrigée (et un peu plus intéressante, je crois) de l’énigme n° 5, je la laisse ouverte encore une semaine.
  
  Signé : Sherlock Tux
  
  P.S. : Pendant les vacances (fin octobre), je vais essayer de mettre à jour les solutions des énigmes de ce début de saison, pour les trois catégories.
- 2. Énigme de la semaine 5, 7 octobre 2015, 11:56, par NDW
  
  Bonjour Sherlock,
  
  Effectivement j’avais noté une incohérence dans l’énoncé (à savoir 888>8888), mais malheureusement omis de le signaler !
  
  Calcul du nouveau code :
  $2^{88} \approx 2,9 \times 10^{79}$
  Le 1^er chiffre du code est 2
  
  Le milieu du code correspond au nombre de chiffres nécessaires pour écrire $2^{88}$
  $2^{88} \approx 2,9 \times 10^{79}$
  Il faut donc 80 chiffres : 1+79
  
  On remarque qu’il y a une périodicité sur le dernier chiffre selon le numéro de puissance :
  1 8
  2 64
  3 512
  4 4096
  
  5 32768
  6 262144
  7 2097152
  8 16777216
  
  9 134217728
  10 1073741824
  11 8589934592
  12 68719476736
  
  Donc pour 88, le dernier chiffre est 6 (88 est multiple de 4, donc c’est le dernier chiffre de la série)
  
  Le code est : 2806