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Énigme de la semaine 6

par MOTTIER Pierre

Canards déchaînés.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

« Mazette, se dit Antoine, comme ils sont disciplinés ! Ce sont entre 100 et 150 canards qui suivent leur chef d’escadrille en formation impeccable. »
 
Antoine observe un vol de canards qui se déplacent vers le Sud, disposés en un triangle équilatéral comme ci-contre.
 
Mais avant qu’il n’ait eu le temps de les compter, le bang d’un avion supersonique provoque le désordre.
 
Après ce court moment d’affolement, tous les canards se regroupent en deux nouveaux triangles équilatéraux, l’un contenant à peu près le double du nombre de canards de l’autre.
 
Combien y a-t-il de canards dans chacun des trois triangles ?

Solution

Un petit « truc » pour commencer :
Posons S la somme des n premiers entiers non nuls :
S=1+2+3+{...}+(n-2)+(n-1)+n
On peut aussi écrire :
S=n+(n-1)+(n-2)+{...}+3+2+1
En additionnant terme à terme ses deux sommes, on a :
2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+{...}+(n+1)+(n+1)+(n+1)
2S=n \times (n+1)
S=\frac{n(n+1)}{2}

Notons maintenant n le nombre de canards dans la dernière rangée de la plus petite des deux formations créées après le bang : il y a donc \frac{n(n+1)}{2} canards dans cette formation et environ n(n+1) canards dans l’autre formation, soit \frac{3n(n+1)}{2} canards en tout, à peu près...
100\leq \frac{3n(n+1)}{2}\leq 150
200\leq 3n(n+1)\leq 300
\frac{200}{3}\leq n(n+1)\leq 100

n est donc égal à 8 (8\times9=72) ou à 9 (9\times10=90).

Si n est égal à 8, il y a 36 canards dans la petite formation et environ 72 dans la grande.
Soit m le nombre de canards dans la dernière rangée de la grande formation :
m(m+1)\approx144
m est donc égal à 11 ou à 12.
Si m vaut 11, il y a 66 canards dans la grande formation, soit 102 canards en tout : il n’est cependant pas possible de former un triangle rectangle avec 102 canards...
Si m vaut 12, il y a 78 canards dans la grande formation, soit 114 canards en tout : il n’est cependant pas possible de former un triangle rectangle avec 114 canards...

Si n est égal à 9, il y a 45 canards dans la petite formation et environ 90 dans la grande.
Soit m le nombre de canards dans la dernière rangée de la grande formation :
{m(m+1)}\approx{180}
m est donc égal à 13 et il y a 91 canards dans la grande formation, soit 136 canards en tout : ça marche ! Dans la formation initiale, il y avait 16 rangées.

La solution proposée sur le site de Mathématiques sans frontières est aussi basée sur la distinction des cas, mais en partant des nombres de canards possibles dans la formation initiale. Ça a l’air plus efficace...

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