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Énigme de la semaine 6

par MOTTIER Pierre

mardi oct. 2014 14

C’est clair !

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Au sous-sol, Pitt’ a équipé son local long de 7 m d’un éclairage fort intéressant : il a installé deux spots halogènes orientables dont chaque faisceau conique a une ouverture de 90 degrés (voir figure ci-dessous).

Le premier spot, placé en plein centre du plafond de la pièce, est orienté de façon à éclairer le sol suivant un disque de 5 m de diamètre.
Le faisceau du second couvre quant à lui la totalité de la longueur du local, sans en éclairer les murs.
Calculer la distance exacte qui sépare les deux spots.

Messages

1. Énigme de la semaine 6, 17 octobre 2014, 05:33, par NDW

Bonjour Sherlock,

La distance entre 2 spots est d’environ 2,45 mètres .

Notations :
cf PJ

Triangles HCD et ABH : (1)
$tan(\alpha) = \frac {y} {h}$
$tan(\alpha) = \frac {h} {7-y}$

$\frac {y} {h} = \frac {h} {7-y}$
$y (7-y) - h^2 = 0$
$y^2 -7y + h^2 = 0$

Triangle FEG : (2)
Le triangle correspondant au spot placé au milieu est isocèle. Comme il est droit au sommet les angles de sa base sont égaux (=45°)
$tan(45) = \frac {h} {\frac{5} {2}}$
$tan(45) = 1$

$h = \frac {5} {2}$

Remplacement de la valeur de h (2) dans (1) :
$y^2 -7y + (\frac {5} {2})^2 = 0$

Résolution de l’équation du 2^e degré avec la formule du discriminant :
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$y =\frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2-4(\frac{5} {2}) ^2}}{2}$
...
$y =\frac {7}{2} \pm \sqrt{6}$
$x = \frac {7}{2} -y$
$x = \pm \sqrt{6}$

Comme x >0 :
$x =\sqrt{6}$
(Soit environ 2,45m )
2. Énigme de la semaine 6, 21 octobre 2014, 05:19, par Houpeaux Fabrice

Bonjour M. Tux,

J’ai trouvé que la distance entre les deux spots devait être égale à la racine carrée de 6.
Bien à vous.
Le pingouin masqué
3. Énigme de la semaine 6, 21 octobre 2014, 07:22, par Mottier Pierre

Appelons ABCD le rectangle, et E le sommet de l’angle droit du triangle rectangle d’hypoténuse [AB].
On pose $x=CE$ .
Le triangle rectangle isocèle a pour hauteur $\frac{5}{2}$ .
Le triangle BCE est rectangle en C.
D’après le théorème de Pythagore, $BE^2=BC^2+CE^2$
De même, dans ADE, $AE^2=DA^2+DE^2$

Dans le triangle ABE, $AB^2=AE^2+BE^2$

On a finalement : $DA^2+DE^2+BC^2+CE^2=AB^2$

Cela nous amène à l’équation : $4x^2-28x+25=0$
On cherche une solution comprise entre 0 et $\frac{7}{2}$ .
On trouve $x=\frac{7}{2}-\sqrt{6}$ .

L’écart entre les deux lampes vaut $\frac{7}{2}-x=\sqrt{6}$ .