Énigme de la semaine 6

Très impossible.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

 
 
 
 
On peut vérifier qu’on ne peut pas trouver d’entiers naturels à mettre dans les disques de la grille ci-contre pour que le nombre dans chaque carré soit la somme des entiers placés dans les deux disques voisins.

Quel nombre doit-on mettre à la place du 13 pour que ce problème ait une solution ?
Cette solution est-elle alors unique ?
 
 
 
 

Solution

Soit x le nombre placé dans le disque en bas à gauche.
Alors, en suivant les flèches, on obtient la figure ci-contre.
La somme des deux disques de la ligne du bas vaut 12.
Ainsi, le carré situé entre ces disques contient nécessairement 12.
Les nombres dans les disques étant des entiers naturels, on obtiendra une solution pour toute valeur entière de x comprise entre 4 et 9.
Il y a donc 6 solutions.