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Énigme de la semaine 7

par MOTTIER Pierre

mardi oct. 2015 13

Soirée « Disquo ».

(Extrait du Rallye Mathématique d’Aquitaine)

Dans une discothèque de la rue Bảo Khánh, une piste de danse circulaire est éclairée par quatre spots qui déterminent quatre zones d’ombre (en noir sur le dessin) et quatre zones sur-éclairées (en blanc).

Un samedi soir, entre deux danses, deux copains passablement éméchés, Anh Đức et Jean-Pierre, se disputent : Anh Đức est persuadé que la zone sur-éclairée est plus grande que la zone d’ombre. Jean-Pierre est convaincu que c’est le contraire.

À vous de jouer le rôle du médiateur (ou de la médiatrice) !

Solution

Voici une solution originale proposée par Gilles Claudel (professeur de physique-chimie) en 2012-2013, année où cette énigme fut proposée dans ce jeu pour la première fois :

J’observe un quart de la piste, je constate que les deux petits demi-disques se recouvrent et je sais que l’aire d’un petit disque vaut le quart de celle d’un grand. J’en déduis que l’aire de la partie surexposée est égale à l’aire de la partie qui est dans l’obscurité.

Messages

1. Énigme de la semaine 7, 21 octobre 2015, 08:39, par NDW
Bonjour Sherlock,

Excusez moi pour le retard !

L’aire sur-éclairée en blanc et l’aire sous-éclairée en noir sont égales.
Anh Đức et Jean-Pierre ne peuvent donc pas être départagés.

Notation :
$A_1$ : aire du disque de centre A et de rayon R
$A_2$ : aire du disque de centre C et de rayon R/2
$A_3$ : aire du carré ABFD
$A_4$ : aire du quart de disque de centre B et de rayon R/2
$A_5$ : aire de l’intersection des disques de centre E et B, et de rayon R/2 (=1/4 de l’aire sur éclairée)

$A_6$ : aire des 4 zones en blanc
$A_7$ : aire des 4 zones en noir

PJ :
- 7_soiree_disco.ggb : représentation des aires
Calcul des aires :
$A_1 = \pi {R}^2$
$A_2 = \pi (\frac {R} {2})^2 = (\frac {\pi} {4}) R^2 = \frac {A_1} {4}$
$A_3 = (\frac {R} {2})^2 = \frac {R^2} {4}$
$A_4 = \frac {A_2} {4}$
$A_5 = A_3 -2 (A_3 - A_4) = 2 A_4 - A_3 = (\frac {R^2} {4}) (\frac {\pi} {2} -1)$

$A_6 = 4 A_5 = R^2 (\frac {\pi} {2} -1)$
$A_7 = A_1 - (4 A_2 -4 A_5)) = A_1 - ( 4 \frac {A_1} {4} - 4 A_5 ) = 4 A_5 = R^2 (\frac {\pi} {2} -1)$