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Énigme de la semaine 8

par MOTTIER Pierre

AG de MSF

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Lors de l’Assemblée Générale de Mathématiques sans Frontières, les participants se retrouvent autour d’une grande table circulaire.
Ce groupe est composé d’hommes et de femmes.
7 femmes ont une femme à leur droite et 12 femmes ont un homme à leur droite.
3 hommes sur 4 ont une femme à leur droite.
Parmi les personnes présentes, on en choisit une au hasard pour rédiger le compte-rendu.
Quelle est la probabilité qu’une femme soit choisie ?

Messages

  • Bonjour,

    Il y a 19 chances sur 35 que la réunion soit tenue par une femme.

    Le raisonnement ci-après (un peu long :-( ) :
    On note :

    • F le nombre total de femmes
    • H le nombre total d’hommes
    • F_{fd} le nombre de femmes avec 1 femme à droite
    • F_{hd} le nombre de femmes avec 1 homme à droite
    • ...

    1/
    Le nombre total de femmes peut s’écrire :
    F= F_{fd} + F_{hd} (1)
    ou
    F = F_{fg} + F_{hg} (2)

    Or :
    7 femmes ont une femme à droite : F_{fd}=7
    12 femmes ont un homme à droite : F_{hd}=12
    Donc :
    F = 7 + 12 = 19

    Il y a 19 femmes en tout

    2/
    De plus :
    7 femmes ont une femme à droite (F_{fd}=7) entraîne 7 femmes ont une femme à gauche (F_{fg}=7).
    Donc :
    F_{hg}= F-F_{fg} (2)
    F_{hg}= 19-7 = 12
    Il y a 12 femmes qui ont un homme à gauche, ce qui entraîne 12 hommes ont une femme à droite, donc H_{fd}=12 .

    3/
    On a :

    • H_{fd}=12 (cf 2/)
    • \frac{3}{4} des hommes ont une femme à droite.
      H_{fd}=\frac{3}{4}\timesH

    H_{fd}=12=\frac{3}{4}\timesH
    H=12\times\frac{4}{3}=16

    Il y a 16 hommes.

    4/
    Probabilité qu’une femme siège à la réunion : P

    P =\frac{F}{F+H}=\frac{19}{19+16}
    P =\frac{19}{35}

  • Soit une suite de F et de H sur un cercle. 7 F ont une F à droite : il y a 7 fois FF dans la suite et donc il y a aussi 7 F qui ont une F à gauche (se représentant également par FF). 12 F ont un H à droite : il y a 12 fois FH dans la suite et donc également 12 H qui ont une F à gauche. À sa droite, une F a soit une F soit un H. Il y a donc 7 + 12 = 19 F en tout. À sa gauche, une F a soit une F soit un H. Il y a donc 19-7 = 12 F qui ont un H à gauche (représenté par HF) et donc il y a 12 H qui ont une F à droite. Or ils constituent les \frac{3}{4} des H qui sont donc 16 \left(16=12\times\frac{4}{3}\right) en tout.Le nombre des personnes présentes en tout est 16+19=35. La probabilité pour qu’une femme soit choisie est donc égale au nombre de femmes sur le nombre des personnes présentes à l’assemblée soit :\frac{19}{35}
    (F pour femme et H pour homme)

    • Hum... Vraiment, oui, je suis content que tu participes au jeu, Thach.
      Bien sûr, ces énigmes hebdomadaires, je ne les invente pas... Je manque hélas d’imagination ! Et si j’en avais malgré tout, je ne pourrais pas être assez productif pour alimenter trois catégories chaque semaine !
      Mais j’écris toujours la référence de mes sources comme tu as pu le voir.
      Je suis donc un peu déçu que ta réponse soit tellement inspirée de celle qui a été publiée par l’équipe de Mathématiques sans Frontières !:-((
      Ce n’est pas l’esprit du jeu, tu t’en doutes !
      Il faut prendre du plaisir à chercher par soi-même, que l’on arrive ou non à la bonne réponse.
      J’espère te retrouver la semaine prochaine, avec une recherche personnelle, au bout de laquelle tu auras éprouvé la satisfaction d’être arrivé au bout du problème, à la force d’un esprit scientifique honnête et bien construit !

      Signé : Sherlock Tux

  • Bonsoir Frère Tux,
    Après calculs et recalculs, j’ai bien envie de répondre un peu plus de 54 %.
    Bien à toi.

  • Bonjour Monsieur,

    D’après le schéma ci-joint, on a 12+7=19 femmes et 12+3=15 hommes dans cette conférence, ce qui fait qu’il y a 34 personnes au total. Pour trouver le pourcentage occupé par les femmes, on effectue \frac{19}{34}\times100 \approx 56~;\%.

    Réponse : il y a à peu près 56 % de chances qu’une femme soit choisie.

    • Tu as cherché de façon très méthodique (et je prends le risque, en publiant dès aujourd’hui ta réponse, qu’elle soit utilisée par d’autres joueurs de ta catégorie !) mais un point me semble poser problème : puisque le groupe des hommes est partagé en quarts, le nombre total d’hommes ne devrait-il pas être un multiple de 4 ?

      Signé : Sherlock Tux

  • Il y a 33 personnes en tout dont 19 femmes et 14 hommes.
    J’ai commencé par tracer une droite après j’ai suivi la démarche décrite dans le texte.
    Je remarque que ceci est une table ronde alors cela veut dire que les personnes aux extrémités du segment sont assises côte à côte.
    Après avoir fait mes calculs, j’ai constaté que les possibilités sont à un pourcentage d’environ 57,5.

    • Bonjour Thomas,

      La méthode semble être correcte. Comme pour Huy, il apparaît cependant qu’il y a un problème avec le nombre d’hommes, qui devrait être un multiple de 4.
      C’est bien d’avoir cherché l’énigme, mais pourquoi t’es-tu engagé dans la catégorie Lycée plutôt que dans la catégorie 4e-3e ? :-O

      Signé : Sherlock Tux

  • Une répartition possible autour de la table :

    • 7 femmes
    • une alternance de 12 femmes et 12 hommes
    • 4 hommes (pour respecter l’indication des 12/16 = 3/4 d’hommes ayant une femme à leur droite)

    Sur l’image, les femmes sont en rose et les hommes en bleu !

    La probabilité qu’une femme soit choisie est :

    P(F) = \frac{n_F}{n_F+n_H}
    P(F) = \frac{19}{19+16}
    P(F)= 0,54

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