Énigme de la semaine 9

À la pompe.

(Extrait du Rallye Mathématique de Haute-Normandie)

Philippe est en train de se servir à la pompe.
Il s’amuse à ce que le nombre de litres et le nombre d’euros soit des nombres entiers (c’est-à-dire qu’il n’y ait ni centimes d’euros, ni centilitres). Pour compliquer encore, il cherche à ce que le nombre de minutes qu’il prend pour se servir soit lui aussi un nombre entier (sans seconde) et il faut 4 secondes pour remplir 1 litre.

1. Si le réservoir de sa voiture contient 77 litres et si le litre d’essence coûte 1,04 euros, combien a-t-il de possibilités ?
2. Si le litre d’essence coûte 1,06 euros, combien doit contenir au minimum son réservoir pour qu’il y ait au moins une solution ?

Solution

Voilà une situation de proportionnalité qu’un tableur aide à traiter plus facilement !
 
Dans les cellules A2, C2 et D2, on entre les données du problème.
Dans la ligne 3, on fait une petite opération (multiplication par 15) qui permet de passer à un nombre entier de minutes.
Dans la ligne 4, on inscrit les formules qu’il suffira alors de tirer vers le bas pour trouver la solution au problème : le symbole $ permet de faire en sorte que le numéro de ligne 3 ne soit pas modifié lorsque la formule est recopiée vers le bas (voir ce qui se passe dans la ligne 5...)
 
 
On obtient les résultats suivants :

 
 
Si le réservoir de sa voiture contient 77 litres et si le litre d’essence coûte 1,04 euros, il n’y a qu’une possibilité, et encore ! Il faut qu’il reste moins de 2 L d’essence dans le réservoir de Philippe avant qu’il commence à se servir ! Il pourra alors verser 75 L d’essence supplémentaires, en 5 minutes, et cela lui coûtera 78 €.
 
 
 
 
Si par contre un litre d’essence coûte 1,06 €, on trouve, en modifiant un peu le tableau précédent, que la première série de nombres entiers est obtenue après 10 minutes à la pompe, pour un coût de 159 €... La quantité d’essence versée dans le réservoir est alors de 150 L !