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Énigme de la semaine 9

par MOTTIER Pierre

mardi nov. 2014 11

Marchand de sable.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Pour rapporter un peu de sable de mes vacances, je dispose d’une enveloppe usagée ouverte sur le pli BC.

Par pliage, j’en fais un tétraèdre en amenant le point B sur le point C.
Je remplis alors mon tétraèdre de sable, puis je ferme en recollant le bord avec du ruban adhésif.

Pour les enveloppes normalisées, la longueur est de 16 cm et le rapport longueur sur largeur est égal à $\sqrt{2}$ .

Calculer à près le volume de sable que je peux emporter.

Messages

1. Énigme de la semaine 9, 15 novembre 2014, 15:57, par Pham Q. Trang

Bonjour,
Voici notre réponse à l’énigme dans le document ci-joint.

2A - PHAM Quynh Trang, GASTEL Marie-Linh, CHIKHI Nesrine, PHUNG Quynh Nga
- 1. Énigme de la semaine 9, 17 novembre 2014, 12:23, par Mottier Pierre
  
  Bonjour les filles !
  
  Votre démonstration est très claire et le résultat tout à fait juste. Bravo !
  Pour justifier pleinement que (CD) est perpendiculaire au plan (FAE) néanmoins, il ne suffit pas de dire que (DC DC Domain Controller : contrôleur de domaine ) est perpendiculaire à (CA). En effet, imaginez, en regardant le dessin de votre tétraèdre, que D est un point mobile dans le plan (DEF), sur un cercle de centre C (les autres points restant fixes) : la droite (CD) tourne autour de l’axe (AC) en restant perpendiculaire à (AC), mais n’est plus parallèle au plan (AEF)...
  En précisant en plus que (CD) est à (EF) (ce qui est vrai puisque CDE et CDF sont des triangles rectangles en C), la possibilité d’une telle rotation du point D autour de l’axe (AC) n’est plus envisageable, et il est alors possible d’affirmer que (CD) est perpendiculaire au plan (AEF).
  
  La propriété s’énonce ainsi (C’est le théorème de la porte !) : Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites de ce plan.
  
  Un autre petit détail : dans l’avant-dernière ligne de calcul, vous utilisez une valeur approchée de l’aire la base AEF pour calculer le volume du tétraèdre DAEF. Il aurait donc été préférable de ne pas utiliser le symbole d’égalité...
  
  Ce sont des détails. L’ensemble reste très agréable à lire. Encore une fois : félicitations !
  
  Signé : Sherlock Tux
2. Énigme de la semaine 9, 17 novembre 2014, 06:10, par NDW

Bonjour Sherlock,

Le volume de sable pour remplir le tétraèdre est de $341\:cm^3$ environ.

PS :
Je m’excuse pour l’affichage qui reste en format latex : je n’ai pas trouvé mon erreur .
En ôtant le dollar après et avant les balises , il n’y a pas de décodage non plus.
À partir d’un autre navigateur (chrome au lieu de firefox) je rencontre aussi le problème.

Détails des calculs :
Le volume d’un tétraèdre se calCule comme suit :
$V=\frac {S h} {3}$

Le plan AEF est perpendiculaire au plan EAD.
La hauteur dans le plan AEF vaut (le petit côté de l’enveloppe, AB) :
$h = \frac {16} {\sqrt 2}$

Surface du triangle EAD :
$S = 16 \frac {16} {2 \sqrt(2)}$

Le volume du tétraèdre :
$V=\frac {1} {3} (16 \times \frac {16} {2 \sqrt 2 }) (\frac {16} {\sqrt 2})$
$V=\frac {1} {3} \times \frac {16^3} {2^2}$
$V=\frac {2^{10}} {3}$
$V \approx 341\:cm^3$
- 1. Énigme de la semaine 9, 18 novembre 2014, 09:35, par Mottier Pierre
  
  Bonjour NDW !
  
  Effectivement, il y a eu quelques problèmes (d’origine inconnue... Les mystères de l’informatique...) avec l’éditeur de formules mathématiques sur le site. Cela a été résolu par l’installation d’un nouveau module. Ça marche correctement, et je n’ai pas eu à retravailler les écritures mathématiques de ton message, qui ont été traitées tout à fait correctement : tu peux voir néanmoins que la mise en forme est un peu différente du rendu précédent. Il est possible que dans l’interface de rédaction, avant que le message ne soit publié sur le site, les écritures en LaTex ne soient plus exactement traitées comme par le passé. Mais à la publication, ça marche, a priori... Donc, pas de soucis !
  Un petit test : $\frac{\pi \times R^2}{2}$ ... Hum, effectivement, quand on prévisualise le message, rien ne se passe...
  En copiant-collant le code \frac {\pi \times R^2}{2} dans l’éditeur en ligne http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php, on peut quand même tester et connaître le rendu à l’édition du message sur le site.
  C’est un peu contraignant... Désolé...
  Mais tu n’es pas obligé de tester : s’il y a des petites modifications à faire au moment de l’édition de l’article le mardi, je les ferai sans problème. Je ne pense pas qu’elles soient nombreuses s’il y en a (aujourd’hui, par exemple, j’ai juste rajouté une accolade autour de 10 dans 2^{10} qui était écrit 2^10, se qui donnait $2^10$ , dans l’avant-dernière ligne : pas de quoi fouetter un chat...) !
  
  Bien cordialement,
  
  Signé : Shelock Tux